Začnu trochu nesouvisle kvůli pochopení problému. Auta s automatickou převodovkou se nesmí tahat na laně, protože i při tažení se uvnitř skříně automatu otáčejí kola, ale nechladí se olej v automatu. Nouzově se dá auto s automatem táhnout maximální rychlostí 70km/hod na vzdálenost 150km viz strana 236 manuálu (v příloze). Ve většině případů se stává, že automatická převodovka naopak motoru bere teplo a motor nedosahuje provozní teplotu => přečíst
bmw7/e65-730d-nezohrieva-sa-dostatocne-t98430.html .
U Tebe je problém opačný - pravděpodobně se Ti přehřívá olej v automatu. Motor se snaží zvýšenými otáčkami (jak popisuješ) ten olej uchladit, ale z nějakého důvodu se mu to nedaří - proč?
Máš tam toho olej dost? Kontroluje se to na zahřátém autě na kanále s běžícím motorem a zařazeném P. Při povolení nalévacího šroubu má olej skoro vytékat - tj. musí být skoro do plna. K chlazení oleje v automatu slouží chladič oleje vpředu (starší e39), u e60 je to realizováno výměníkem olej - voda na chladiči chladící kapaliny viz obrázek.

Podívej se, jestli jsou ty hadice horké, případně jestli tam vůbec jsou. Dovedu si představit, že to nějaký umělec zaslepil, odmontoval z důvodu úniku atp. a teď máš Ty "černého Petra". Nadále platí to, co napsal airbone a další - získat live data BMW diagnostikou. Pošli mi do PM VIN auta, kouknu na celou výrobní konfiguraci, ten obrázek výše jsem tam dal jen podle typu e60/530d automat.